Ovaj članak će istražiti što je ortonormirana baza matrice i kako ih pronaći u MATLAB-u pomoću orth() funkcija.
Što su ortonormirane osnove matrice
U linearnoj algebri, ortonormirana baza vektorskog prostora V koji ima konačnu dimenziju su baza koja ima ortonormirani vektori gdje je ortonormirani vektori su jedinični vektori koji su ortogonalni jedan na drugi, odnosno njihov točkasti produkt je nula.
Razmotrimo dvojedinične vektore x i y, oni će biti ortogonalni jedan na drugi ako “x.y=0” . Ova dva vektora se još nazivaju ortonormirani vektori .
Zašto trebamo izračunati ortonormalnu osnovu
Ortonormirana baza je koristan u smislu pronalaženja projekcije vektora na drugi vektor ili pronalaženja udaljenosti između dva vektora. Također možemo koristiti an ortonormirana baza kako bismo smanjili pogrešku zaokruživanja u našim simulacijama, a jedini razlog za to je taj što su vektori u ortonormiranoj bazi neovisni jedni o drugima, stoga se pogreška u jednom vektoru ne može širiti na druge vektore. Nadalje, pronalaženje koordinata i izvođenje linearne transformacije puno je lakše ako je naša baza ortonormirana.
Kako pronaći ortonormiranu osnovu matrice u MATLAB-u?
U MATLAB-u možemo pronaći ortonormirana baza pomoću ugrađenog orth() funkcija koja je odgovorna za određivanje ortonormirana baza zadane matrice. Ova funkcija prihvaća matricu kao obvezni parametar i daje matricu kao izlaz koji sadrži ortonormirana baza zadane ulazne matrice.
Sintaksa
The orth() funkcija se može implementirati u MATLAB kroz sljedeće sintakse:
Q = orth ( A,tol )
Ovdje,
- Funkcija Q = orth(A) odgovoran je za određivanje ortonormirana baza za raspon od A gdje stupci izlazne matrice Q predstavljaju ortonormirana baza matrice A i spamiraju raspon matrice A. Također, rang A jednak je broju stupaca Q.
- Funkcija Q = orth(A,tol) odgovoran je za određivanje ortonormirana baza za raspon A koji specificira toleranciju. Singularne vrijednosti ulazne matrice A, koje su manje od tolerancije, tretiraju se kao nula utječući na broj stupaca Q.
Primjer 1: Kako pronaći ortonormiranu osnovu matrice punog ranga u MATLAB-u?
Ovaj MATLAB kod određuje ortonormirana baza zadane kvadratne matrice A veličine n=3 pomoću orth() funkcija. Ovaj kod također pronalazi rang matrice A pomoću rang() funkcija za provjeru je li ulazna matrica punog ranga.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Primjer 2: Kako izračunati ortonormiranu osnovu matrice manjkavog ranga u MATLAB-u?
U ovom primjeru koristimo orth() funkcija za pronalaženje ortonormirana baza zadane matrice manjkavog ranga A. Matrica A je manjkavog ranga jer rang(K)
r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Primjer 3: Kako pronaći ortonormiranu osnovu matrice punog ranga određivanjem tolerancije u MATLAB-u?
Navedeni primjer izračunava ortonormirana baza zadane kvadratne matrice punog ranga A veličine n=3 koristiti orth() funkcija sa zadanom tolerancijom. Kako je A matrica punog ranga, veličina A i Q (ortogonalna baza) je isti, što je 3×3 u ovom slučaju. Primjer zatim izračunava ortonormirana baza od A određivanjem vrijednosti tolerancije 0,5 kako bi se vrijednosti A koje su manje od 0,5 smatrale pojedinačnim vrijednostima. Postoje tri singularne vrijednosti u A, tako da A ima dva ortonormirana vektora stupca sadržana u Qtol matrica.
A = rand ( 3 ) ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = ort ( A, 0,5 )
Zaključak
Pronalaženje ortonormirana baza vektorskog prostora je važan koncept linearne algebre koji je kompliciran matematički problem. Međutim, to se može riješiti jednostavno i učinkovito korištenjem ugrađenog MATLAB-a orth() funkcija. Ovaj članak je predstavio implementaciju ove funkcije koristeći različite sintakse i primjere.